Un sólido arquimediano conserva la mitad de lo que hace perfecto a un sólido platónico y renuncia a la otra mitad. Todas las caras siguen siendo polígonos regulares y todos los vértices siguen siendo exactamente iguales, así que la forma puede girarse hasta que cualquier vértice elegido ocupe el lugar de otro y nada parezca cambiar. Lo que pierde es la exigencia de que todas las caras sean iguales, y en cuanto se permiten dos o tres tipos de polígono la familia pasa de cinco miembros a trece, además de las dos familias infinitas de prismas y antiprismas, que suelen contarse aparte por ser tan sencillas.
La mayoría se obtienen recortando un sólido platónico. Corta los vértices de un cubo y las caras cuadradas se vuelven octógonos mientras cada vértice quitado deja un triángulo; corta más hondo, hasta que los cortes vecinos se encuentren en el medio de cada arista, y el cubo y el octaedro se convierten en la misma forma, el cuboctaedro. Otros miembros salen de empujar hacia fuera las caras de un sólido y rellenar los huecos, y los dos últimos, las formas chatas, salen de dar a esas caras un giro antes de rellenar, y por eso existen en versiones izquierda y derecha que no se pueden convertir una en otra.
Arquímedes describió todo el conjunto en una obra perdida que solo se conoce por un resumen de Papo; las formas tuvieron que redescubrirse pieza a pieza durante el Renacimiento, por Piero della Francesca, Luca Pacioli, Durero y finalmente Kepler, que en 1619 volvió a publicar la lista completa y dio a la mayoría los nombres que aún se usan hoy. Uno de ellos es ahora el sólido más reconocible del mundo: el icosaedro truncado, doce pentágonos entre veinte hexágonos, es el clásico balón de fútbol cosido, la forma de la molécula de carbono 60 que lleva el nombre de Buckminster Fuller y el patrón de los segmentos de espejo de los grandes telescopios.