Un sólido platónico es tan regular como puede serlo una forma tridimensional: todas las caras son el mismo polígono regular, el mismo número de caras se junta en cada vértice y todos los vértices están sobre una misma esfera. Sorprendentemente, solo existen cinco de estas formas, y la razón es una simple cuestión de aritmética: los ángulos que se juntan en un vértice tienen que sumar menos de un giro completo, lo que deja espacio para tres, cuatro o cinco triángulos, tres cuadrados o tres pentágonos, y nada más. La demostración cierra la lista definitivamente, y por eso nunca se ha encontrado un sexto.
Los griegos conocían los cinco y Platón les dio su fama duradera al emparejarlos con los elementos —fuego, tierra, aire, agua y los cielos— en un esquema que era erróneo como física pero memorable como imagen. Euclides cerró los Elementos con una construcción de cada uno y una demostración de que la lista es completa, y las formas han seguido apareciendo desde entonces: Kepler construyó un modelo temprano del sistema solar anidándolos unos dentro de otros y, cuando fracasó, pasó a las órbitas elípticas que le dieron fama.
También vienen en parejas. Pon un punto en el centro de cada cara de un cubo y une los vecinos, y aparece un octaedro; haz lo mismo con el octaedro y vuelve el cubo. El dodecaedro y el icosaedro intercambian sus puestos de la misma manera, y el tetraedro es su propia pareja. Más allá de las matemáticas son muy prácticos: el cubo para los dados y el empaquetado, el icosaedro para las cúpulas geodésicas, las cápsulas de muchos virus y los dados de veinte caras de los juegos de mesa, y los cinco para el juego estándar que los juegos de rol usan desde hace medio siglo.