Платоново тело настолько правильно, насколько это возможно для объёмной фигуры: все грани — одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число граней, и все вершины лежат на одной сфере. Замечательно, что таких фигур ровно пять, и причина сводится к простому подсчёту: сумма углов при вершине должна быть меньше полного оборота, а это оставляет место лишь для трёх, четырёх или пяти треугольников, трёх квадратов или трёх пятиугольников — и больше ни для чего. Доказательство закрывает список окончательно, поэтому шестого тела никто никогда не находил.
Греки знали все пять, а прочную славу им принёс Платон, связав их со стихиями — огнём, землёй, воздухом, водой и небом. Как физика эта схема оказалась неверной, но как образ запомнилась надолго. Евклид завершил «Начала» построением каждого тела и доказательством того, что список полон, и с тех пор эти фигуры всплывают снова и снова: Кеплер построил раннюю модель Солнечной системы, вложив их одно в другое, а когда она не сошлась с наблюдениями, перешёл к эллиптическим орбитам, которые его и прославили.
Ещё они образуют пары. Поставьте точку в центре каждой грани куба и соедините соседние — получится октаэдр; проделайте то же с октаэдром, и вернётся куб. Додекаэдр и икосаэдр меняются местами так же, а тетраэдр оказывается парой самому себе. Помимо математики они вполне практичны: куб — для игральных костей и упаковки, икосаэдр — для геодезических куполов, для оболочек многих вирусов и для двадцатигранных костей настольных игр, а все пять вместе составляют стандартный набор, которым ролевые игры пользуются уже полвека.