Crecimiento logístico:
P(t) = K / (1 + ((K-P₀)/P₀)·e^(-r·t))
La dinámica de poblaciones es la rama de la ecología y las matemáticas que estudia cómo y por qué cambian las poblaciones con el tiempo. El modelo más simple —el crecimiento exponencial— supone recursos ilimitados y lleva a un aumento sin límite. El modelo logístico lo corrige introduciendo una capacidad de carga K: la población máxima que el entorno puede sostener de forma sostenible. A medida que la población N se acerca a K, la tasa de crecimiento disminuye, lo que produce la conocida curva sigmoide en forma de S que se ve en sistemas que van desde cultivos de bacterias hasta especies invasoras que colonizan nuevos territorios.
La ecuación de Verhulst dN/dt = r·N·(1 − N/K) tiene una solución exacta en forma cerrada: N(t) = K / (1 + ((K−N₀)/N₀)·e^(−rt)). El punto de inflexión se da en N = K/2, donde el crecimiento de la población es más rápido. Por debajo de K/2 la población se acelera; por encima de K/2 se frena y se aproxima asintóticamente a K. Este modelo es la base de una sola especie de extensiones más complejas, entre ellas el modelo de competencia de Lotka-Volterra de dos especies, la dinámica epidemiológica SIR y los modelos de recurso-consumidor.
Esta visualización interactiva resuelve numéricamente la EDO logística en tiempo real y muestra la curva de población resultante. El panel de control te permite modificar la tasa de crecimiento r, la capacidad de carga K y la población inicial N₀. Explorar parámetros extremos revela comportamientos importantes: poner N₀ por encima de K muestra al modelo descendiendo suavemente hasta K (el equilibrio estable); una r muy alta muestra una convergencia más rápida pero un posible sobreimpulso oscilatorio cerca de K; y reducir r hacia cero ralentiza la transición sigmoide hasta que el crecimiento se vuelve imperceptiblemente lento.