Antes de Galileo, la imagen aceptada de una piedra lanzada era que volaba recta hasta que se agotaba su ímpetu y luego caía. Su intuición, publicada en 1638, fue dividir el movimiento en dos mitades independientes: en horizontal nada empuja a la piedra, así que mantiene una velocidad constante; en vertical la gravedad tira como tira de cualquier cosa, así que la caída aumenta de forma constante. Juntas las dos, la trayectoria es una parábola, una afirmación que además implicaba que una bala de cañón y una bola soltada tocan el suelo a la vez si se sueltan a la misma altura.
Ese resultado tan limpio solo se cumple exactamente en el vacío. El aire empuja hacia atrás a un objeto en movimiento aproximadamente en proporción al cuadrado de su velocidad y, como ese empuje siempre se opone al movimiento, le quita más a un proyectil rápido que a uno lento. La parábola simétrica se vuelve asimétrica: el descenso es más empinado que la subida, el alcance queda muy por debajo de la cifra de los libros de texto y el mejor ángulo de lanzamiento baja de cuarenta y cinco grados. Los artilleros lo sabían por las tablas de tiro siglos antes de que nadie pudiera resolver las ecuaciones, porque con el rozamiento incluido no hay una fórmula ordenada que resolver: la trayectoria hay que calcularla paso a paso.
El mismo razonamiento en dos partes sigue sustentando una gran cantidad de trabajo práctico: el vuelo de una pelota de golf o una jabalina, el arco de un chorro de agua, el descenso de una nave espacial en una atmósfera. Lo único que cambia entre esos casos es qué efectos adicionales importan: giro, sustentación, una atmósfera que se enrarece, viento. Partir de la parábola del vacío y añadir una complicación cada vez sigue siendo la forma estándar de construir un modelo honesto, y comparar las dos curvas lado a lado muestra exactamente cuánto cuesta cada complicación.