До Галилея считалось, что брошенный камень летит по прямой, пока в нём не иссякнет «толчок», а затем падает. Его догадка, опубликованная в 1638 году, состояла в том, чтобы разделить движение на две независимые половины: вбок камень никто не толкает, поэтому там скорость постоянна; вниз тяготение тянет его так же, как тянет всё остальное, поэтому падение равномерно набирает ход. Сложите две половины — и получится парабола. Из того же рассуждения следовало, что пушечное ядро и просто отпущенный шар коснутся земли одновременно, если начнут с одной высоты.
Этот изящный результат точен только в пустоте. Воздух сопротивляется движению примерно пропорционально квадрату скорости, и, поскольку он всегда направлен против движения, у быстрого снаряда он отнимает больше, чем у медленного. Симметричная парабола перекашивается: спуск становится круче подъёма, дальность заметно не дотягивает до учебной, а наилучший угол броска опускается ниже сорока пяти градусов. Артиллеристы знали это по таблицам стрельбы за столетия до того, как уравнения научились решать, — ведь с сопротивлением аккуратной формулы попросту нет, траекторию приходится считать шаг за шагом.
То же разделение на две части и сегодня лежит в основе множества практических расчётов: полёта мяча для гольфа или копья, дуги струи воды, спуска аппарата в атмосферу. Меняется лишь то, какие добавочные эффекты важны: вращение, подъёмная сила, разрежение атмосферы, ветер. Начать с параболы в пустоте и добавлять по одному усложнению — по-прежнему обычный способ построить честную модель, а сравнение двух кривых рядом сразу показывает, во сколько обходится каждое усложнение.