La esfera y el toro son las dos superficies con las que empieza todo curso de geometría, porque entre ellas cubren los dos casos que importan: una superficie cerrada sin agujeros y una superficie cerrada con exactamente uno. Todo lo demás con una piel lisa, cerrada y de dos caras es una de estas dos estirada, o un toro con más agujeros. La esfera es la forma que encierra más volumen con una cantidad dada de superficie, y por eso las pompas de jabón, las gotas de lluvia y los planetas pequeños acaban adoptándola; el toro es lo que barre una circunferencia cuando se la lleva alrededor de otra, y por eso aparece siempre que algo da vueltas de dos maneras a la vez.
La curvatura es lo que las separa. Todos los puntos de una esfera se curvan igual en todas las direcciones, así que ningún mapa plano del mundo puede ser fiel: toda proyección tiene que estirar, rasgar o cizallar algo, y la cartografía lleva siglos eligiendo qué mentira contar. Un toro se curva en ambos sentidos a la vez: en el borde exterior se curva como una esfera, en el borde interior se curva como una silla de montar, y alrededor de las circunferencias superior e inferior es por un instante tan plano como una hoja de papel. Promediados sobre toda la superficie, esos dos tipos de curvatura se anulan exactamente, y esa es la razón de que un toro, a diferencia de una esfera, pueda tener una geometría perfectamente plana.
Ambas formas se ganan el sustento muy fuera de las matemáticas. Los reactores de fusión tokamak confinan el plasma en un toro porque un campo magnético puede recorrerlo una y otra vez sin llegar nunca a un extremo; las superficies en forma de rosquilla describen el espacio de estados de cualquier cosa con dos ciclos independientes, desde un péndulo doble hasta la fase de dos osciladores acoplados; y los videojuegos llevan envolviendo sus mundos de borde a borde en un toro desde la era arcade. La esfera, por su parte, es el modelo de trabajo de todo planeta, toda lente y todo frente de onda acústico, y los mapas y cuadrículas dibujados sobre ella son la razón de que una Tierra curva pueda navegarse con instrumentos planos.