球面和环面是每门几何课一开始就会讲到的两个曲面，因为它们涵盖了两个重要的情形：没有洞的封闭曲面，以及恰好有一个洞的封闭曲面。其他任何具有光滑、封闭、双面外皮的东西，要么是这两者之一被拉伸后的样子，要么是有更多洞的环面。球面是在给定表面积下包围体积最大的形状，这就是为什么肥皂泡、雨滴和小行星最终都会采用它；环面则是一个圆绕着另一个圆运动时扫出的曲面，因此每当某个东西同时以两种方式转圈时，它就会出现。
曲率是它们的区别所在。球面上每个点在所有方向上的弯曲程度相同，所以没有任何平面世界地图能做到忠实：每一种投影都必须拉伸、撕裂或剪切某些东西，制图学几个世纪以来一直在选择该说哪种谎言。环面同时向两个方向弯曲：在外缘它像球一样弯曲，在内缘它像马鞍一样弯曲，而在上下两圈周围，它在一瞬间像一张纸一样平坦。在整个曲面上取平均，这两种曲率恰好相互抵消，这就是为什么环面与球面不同，可以拥有完全平坦的几何。
这两种形状在数学之外也大显身手。托卡马克聚变反应堆把等离子体约束在环面中，因为磁场可以一圈又一圈地绕行而永远不会到达尽头；甜甜圈状的曲面描述了任何具有两个独立循环的事物的状态空间，从双摆到两个耦合振荡器的相位；而电子游戏自街机时代起就一直把它们的世界从边到边绕成一个环面。至于球面，它是每一颗行星、每一片透镜和每一个声波波前的工作模型，画在它上面的地图和网格，正是弯曲的地球可以用平面仪器导航的原因。