Una transformación geométrica es una regla que envía cada punto del plano a otro lugar. Las conocidas forman una lista corta: deslizar toda la imagen sin girarla, hacerla girar en torno a un punto fijo, voltearla respecto a una recta, agrandarla o reducirla, y empujarla de lado para que los cuadrados se conviertan en paralelogramos inclinados. Las tres primeras conservan exactamente toda distancia y se llaman movimientos rígidos: una figura movida por uno de ellos es congruente con la original, que es justo lo que la geometría escolar quiere decir cuando afirma que dos triángulos son iguales. Ampliar conserva todos los ángulos y todas las razones pero no los tamaños reales, y da figuras semejantes y no congruentes.
Dos hechos convierten esto de una lista de trucos en una disciplina. El primero es que realizar una transformación y luego otra da siempre una transformación del mismo tipo, así que se combinan como números bajo la multiplicación: dos reflexiones en rectas que se cortan hacen un giro, dos en rectas paralelas hacen un deslizamiento, y un giro seguido de una ampliación es de nuevo un giro con ampliación. El segundo es que el orden importa: gira una figura y luego estírala y no acabarás donde acabarías estirándola primero y girándola después. Felix Klein construyó su programa de 1872 sobre esta misma idea, definiendo una geometría como el estudio de lo que sobrevive a una familia elegida de transformaciones, y así la geometría euclidiana, la afín y la proyectiva se convirtieron en una sola disciplina vista desde alturas distintas.
La ventaja práctica es que cada uno de estos movimientos puede escribirse como una pequeña tabla de números y aplicarse a millones de puntos a la vez. Eso es lo que hace un procesador gráfico para ganarse la vida: cada fotograma de una animación, cada desplazamiento de un mapa, cada giro de un modelo en un programa de CAD es una de esas tablas aplicada a una malla de coordenadas. Añadir una fila y una columna extra para que los desplazamientos quepan en la misma tabla —el truco llamado coordenadas homogéneas— es lo que permite que toda una cadena de movimientos se reduzca a una sola multiplicación, y es la razón de que la robótica, la visión por computador y los gráficos 3D hablen todos el mismo lenguaje algebraico.