Van der Pol 振荡器是一个二阶非线性自治常微分方程，描述具有非线性阻尼的自持极限环振荡器。巴尔塔萨·范德波尔在分析三极管电路时首次研究了它，它成为非线性动力学的基础模型，应用于神经科学（FitzHugh-Nagumo 神经脉冲模型）、心律、气候振荡以及许多周期性的生物现象。
它的决定性性质是极限环：对于任何初始条件 (x₀, v₀)，相空间中的轨迹都会收敛到唯一一条闭合轨道。非线性参数 μ 控制环的形状：小的 μ 给出近乎正弦的振荡（相图近似圆形），而大的 μ 则产生弛豫振荡器：沿着三次零倾线缓慢漂移，并被快速的跳变打断。从平滑振荡到刚性弛豫的这种过渡，是整个常微分方程理论中视觉上最引人注目的分岔现象之一。
这个交互式模型对 Van der Pol 方程进行数值积分，并同时显示位置随时间变化的图和相图。你可以改变 μ、初始条件和 RK4 的步长，看看从截然不同的起点出发的轨迹如何收敛到同一个极限环，随着 μ 增大环的形状如何变形，以及当步长对于刚性区域而言太大时数值精度如何下降。